学部専門教育
工学
2011
工学部
カオス・フラクタル
井上 純一(北海道大学大学院情報科学研究科)
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学部専門教育 カオス・フラクタル(2011)

教員
井上 純一(北海道大学大学院情報科学研究科)
概要

<概要>

複雑系研究の代表的なトピックスである「カオス」「フラクタル」の基本的概念を習得する。特に、複雑なシステムを非線形力学系、セル・オートマトン等で計算機上に再現し、そこに現れる複雑な系の挙動・性質がカオスやフラクタルの概念とそれらの特徴量、すなわち、リアプノフ指数やフラクラル次元等によって識別できることを、2年次に既習の初等的なC言語プログラミングを実際に行ってもらうことで学習する。

<スケジュール>

(1) 線形と非線形、脳における非線形(事例紹介)、運動方程式とその線形化、生態系の方程式とその差分化
(2) 非線形写像
(3) 軌道の稠密性
(4) 写像の折りたたみ度と軌道のエントロピー, 軌道安定性とリアプノフ指数
(5) 分岐現象とカオス
(6) 研究紹介#1: 社会科学におけるカオス現象 — 労働市場の数理モデル—
(7) 数値計算の準備
(8) 非線形力学系とカオス
(9) アトラクタの埋め込み次元と相関次元
(10) 自己相似性とフラクタル
(11) 複素力学系と確率的フラクタル、フラクタル次元
(12) マルチフラクタル
(13) 研究紹介#2: 生態系にみられるフラクタル — ムクドリの群れに見られるフラクタル構造 —

講義資料
ガイダンス PDFガイダンス配布資料
第1回 線形と非線形、脳における非線形(事例紹介)、運動方程式とその線形化、生態系の方程式とその差分化
PDF講義ノート#1
第2回 非線形写像
PDF講義ノート#2
第3回 軌道の稠密性
PDF講義ノート#3
第4回 写像の折りたたみ度と軌道のエントロピー、軌道安定性とリアプノフ指数
PDF講義ノート#4
第5回 分岐現象とカオス
PDF講義ノート#5
第6回 研究紹介#1: 社会科学におけるカオス現象 — 労働市場の数理モデル—
PDF講義ノート#6
第7回 数値計算の準備
PDF講義ノート#7
第8回 非線形力学系とカオス
PDF講義ノート#8
第9回 アトラクタの埋め込み次元と相関次元
PDF講義ノート#9
第10回 自己相似性とフラクタル
PDF講義ノート#10
第11回 複素力学系と確率的フラクタル、フラクタル次元
PDF講義ノート#11
第12回 マルチフラクタル
PDF講義ノート#12
第13回 研究紹介#2: 生態系にみられるフラクタル — ムクドリの群れに見られるフラクタル構造 —
PDF講義スライド#13

‡ これらの資料は制限資料です。

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タグ
対象
工学部情報エレクトロニクス学科 情報工学コース3年生
単位等
講義、2単位
キーワード
複雑系科学、カオス、非線形力学系、フラクタル、自己相似、計算機シミュレーション、計算物理学、数値計算とデータ解析
シラバス

<到達目標>

カオス、フラクタルの概念を簡単な系の数値実験(シミュレーション)例を通じて習得する。その際、それらを特徴付けるリアプノフ指数、フラクタル次元、位相エントロピーなどの物理量の計算手法のいくつかを学ぶ。その際、実際に計算機上でこれらの系をシミュレートし、特徴量を評価するための数値計算技法もあわせて学習する。また、時間があれば、これらカオス、フラクタルの応用例についても触れたいが、当講義は時間的にみて(半期の全15回前後)、カオス・フラクタルの「入門編」にとどまるため、より進んだ内容(工学的応用例を含む)は大学院情報科学研究科複合情報学専攻において開講されるであろういくつかの講義・演習等で学ぶことになる (例えば、混沌系工学特論)。ただし、今年度は2回分程度、関連する担当者のグループでの研究成果:  i) 労働市場に現れるカオス現象  ii) ムクドリ群れに見られるフラクタル構造 について紹介する予定である。

※ なお、当講義で学んだ内容を定着させるために、後期に開講される「情報工学演習II」では、カオス・フラクタルに関連する、ある程度まとまった計算機実験をしてもらう。

<授業計画>

大まかに言って当講義は下記のように I.カオス編, II.フラクタル編の2つのパートに分かれる。

I. カオス編

(1) 線形と非線形、初等力学(物理学I)の復習、運動方程式(微分方程式)の解的      解法、数値的解法

(2) 非線形項の入った運動方程式の数値的解法、写像力学系(ロジスティク写像、テント写像、ベルヌーイ写像など)

(3) カオスの特徴付け(リ・ヨークの定理、リアプノフ指数、位相エントロピーとその拡張版など)

(4) 位相空間、ストレンジ・アトラクタ、リアプノフ指数計算の実際、高次元データの低次元への埋め込み

(5) 研究紹介#1: 社会科学におけるカオス現象 — 労働市場の数理モデル—

II. フラクタル編

(1) 自然界に現れる様々なフラクタル図形と非フラクタル図形(「特徴的な長さ」の有無、「スケール・フリー性」について)

(2) 確定的なルールで作られるフラクタル図形(コッホ曲線、シェルピンスキーガスケ ットなど)

(3) 確率的なルールで作られるフラクタル図形(セル・オートマトン、菌糸成長など)

(4) 複素力学系とフラクタル(ジュリア集合など)

(5) フラクタル次元とその数値計算法(ボックスカウント次元など)

(6) 研究紹介#2: 生態系にみられるフラクタル — ムクドリの群れに見られるフラクタル構造 —

以上、各項目1-2回程度で行う。

<評価の基準と方法>

毎回出題されるレポート課題に取り組み、提出して頂き、その内容を評価する。

<備考>

毎回簡単な講義ノートを配布するので、それに沿って解説します。
なお、講義に関する連絡は下記URL
http://chaosweb.complex.eng.hokudai.ac.jp/~j_inoue/ChaosFractal2011/ChaosFractal2011.html
で行う場合があるので、定期的に確認してください。

2009年度講義資料も下記URL

http://ocw.hokudai.ac.jp/Course/Faculty/Engineering/ChaosFractal/2009
で見ることができます

備考
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